:::::::::::::::::::::::::::::: BRIANI :::::::::::::::::::::::::::::: [B1] Applicazione al traffico veicolare: il modello LWR con sorgente per il traffico veicolare. Si tratta di studiare l'effetto di un termine di sorgente non locale da aggiungere al classico modello LWR per il traffico veicolare. [B2] Applicazione al traffico veicolare: Il modello a due classi con creeping. Si tratta di studiare un modello per l'accoppiamento della dinamica dei veicoli leggeri e pesanti, specifico per la descrizione del creeping (il blocco del traffico pesante non implica quello del traffico leggero). Referenze: S. Fan, D. B. Work, A heterogeneous multiclass traffic flow model with creeping, SIAM J. Appl. Math., 75 (2015), 813-835. [B3] Applicazione al traffico veicolare: Implementazione di un modello del secondo ordine per la stima delle emissioni dovute al traffico veicolare Referenze: C. Balzotti, M. Briani, B. De Filippo, B. Piccoli, Evaluation of NOx emissions and ozone production due to vehicular traffic via second-order models. Preprint 2019. arXiv:1912.05956, in stampa su DCDS-B. :::::::::::::::::::::::::::::: CARLINI :::::::::::::::::::::::::::::: [CA1] Uno schema numerico per equazioni di Hamilton-Jacobi su networks Recentemente sono stati proposti nuovi modelli di equazioni di Hamilton-Jacobi su network. Sono quindi divenute necessarie nuove tecniche per generalizzare gli esistenti schemi numerici al caso di network. Si propone di studiare uno schema di tipo semi-lagrangiano per una classe di equazioni di Hamilton-Jacobi-Bellman su reti e di fare qualche simulazione su semplici network (due o tre archi) Referenze: - E. Carlini, A. Festa, and N. Forcadel, A semi-Lagrangian scheme for Hamilton-Jacobi-Bellman equations on networks, SIAM J. Numer. Anal., 58, 3165-3196, 2020. [CA2] Approssimazione dell'equazione di Fokker-Planck L'equazione di Fokker-Plank ha recentemente trovato molte applicazioni nei modelli Mean-Field Games e nei modelli di Hughes per la dinamica dei pedoni. Si propone di confrontare, su semplici problemi unidimensionali, due schemi numerici: schema semi-lagrangiano e schema di Chang-Cooper. Referenze: - E. Carlini, F.J. Silva, A Semi-Lagrangian scheme for the Fokker-Planck equation IFAC-PapersOnLine 49 (8), 272-277 - E. Carlini, F.J. Silva, On the Discretization of Some Nonlinear Fokker-Planck-Kolmogorov Equations and Applications, SIAM Journal on Numerical Analysis 56 (4), 2148-2177 - J. S. Chang and G. Cooper, A practical difference scheme for Fokker-Planck equations, J. Comput. Phys., 6 (1970), pp. 1-16. - M. Mohammadi, A. Borzi', Analysis of the Chang-Cooper discretization scheme for a class of Fokker-Planck equations. Journal of Numerical Mathematics, 23 (2015), 271-288 [CA3] Approssimazione numerica di problemi Mean-Field Game La teoria MFG descrive giochi differenziali con un numero infinito di giocatori, che sono indistinguibili, razionali e ogni singolo agente non ha alcuna influenza sugli altri. Lo studio di questi problemi a livello teorico e numerico e' ancora aperto. L'esistenza di una soluzione regolare e' nota solo in pochi casi. A livello numerico, ci sono alcuni risultati per il caso di MFG di secondo ordine (con termine di diffusione), pochissimi metodi per MFG di primo ordine (deterministici). Il lavoro consiste nello studiare e implementare il metodo di tipo semi-lagrangiano per la soluzione di problemi MFG deterministici in dimensione 1, proposto in [CS]. Referenze: - E.Carlini, F.J. Silva, A fully discrete semi-Lagrangian scheme for a first order mean field games problem, SIAM Journal on Numerical Analysis, 52 (1), pp. 45-67, 2014. - M.Lauriere, Numerical Methods for Mean Field Games and Mean Field Type Control, https://arxiv.org/abs/2106.06231 - Y. Achdou and I. Capuzzo Dolcetta, Mean field games: Numerical methods, SIAM J. Numer. Anal., 48 (2010), pp. 1136-1162 :::::::::::::::::::::::::::::: CRISTIANI :::::::::::::::::::::::::::::: [CR1] Applicazione al traffico veicolare: Il modello LWR con ritardo. La tesina consiste nell'implementazione del modello LWR con ritardo, che tiene conto del tempo di reazione del guidatore. Referenze: M. Burger, S. Goettlich, T. Jung, Derivation of a first order traffic flow model of LWR type, IFAC PapersOnLine, 51-9 (2018), 49-54. [CR2] Applicazione al traffico veicolare: Modelli del primo ordine su rete con "buffer". La tesina consiste nell'implementazione di un modello proposto nel 2009 per estendere il modello LWR su reti stradali. Referenze: M. Herty, J. P. Lebacque, S. Moutari, A novel model for intersections of vehicular traffic flow, Netw. Heterog. Media, 4 (2009) 813-826. [CR3] Applicazione al traffico veicolare: ottimizzazione di una serie di semafori lungo una strada. La tesina consiste nel regolare in maniera ottimale una serie di semafori posti lungo una strada al fine di massimizzare il flusso di traffico. Referenze: M. L. Delle Monache, B. Piccoli, F. Rossi, Traffic regulation via controlled speed limit, SIAM J. Control Optim., 55(2017), 2936-2958. [CR4] Applicazione al traffico pedonale: Il modello di Hughes. La tesina consiste nell'implementazione del modello di Hughes, che si basa su un sistema di due EDP. La prima e' una legge di conservazione che descrive il movimento dei pedoni, la seconda e' un'equazione di tipo eikonale che calcola il campo dei velocita' seguito dai pedoni. Lo scopo e' simulare una procedura di evacuazione da una stanza. Referenze: E. Cristiani, B. Piccoli, A. Tosin, Multiscale modeling of pedestrian dynamics, Springer 2014. [Section 4.4.4] [CR5] Metodi di accelerazione per l'equazione eikonale Metodi Fast Marching e Fast Sweeping per l'equazione eikonale in dimensione 2. Confronto con i metodi monotoni studiati nel corso in termini di costo computazionale, errore e ordine di convergenza. Referenze: - J. Qian, Y.-T. Zhang, H.-K. Zhao, A Fast Sweeping Method for Static Convex Hamilton-Jacobi Equations, Journal of Scientific Computing, 31 (2007), 237-271. - J. A. Sethian, A fast marching level set method for monotonically advancing fronts, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 93 (1996), 1591-1595. [CR6] Schemi di approssimazione per il problema di Shape-from-Shading Schemi numerici per il problema di Shape-from-Shading. Approssimazione della soluzione massimale dell'equazione eiconale. Sviluppo di test su immagini virtuali e reali. Referenze: M. Falcone, R. Ferretti, Semi-Lagrangian Approximation Schemes for Linear and Hamilton-Jacobi equations, SIAM, 2014. [CR7] Schemi di approssimazione per problemi di controllo ottimo Approssimazione della soluzioni di alcuni problemi di controllo ottimo in dimensione 2. Referenze: - M. Falcone, R. Ferretti, Semi-Lagrangian Approximation Schemes for Linear and Hamilton-Jacobi equations, SIAM, 2014. - M. Bardi, I. Capuzzo Dolcetta, Optimal control and viscosity solutions of Hamilton-Jacobi-Bellman equations, Birkhauser, 1997. :::::::::::::::::::::::::::::: FALCONE :::::::::::::::::::::::::::::: [F1] Metodi adattivi per le equazioni di Hamilton-Jacobi Studio della convergenza degli schemi numerici che lavorano su una griglia variabile (adattiva) in funzione di un indicatore dell'errore a posteriori. Referenze: - M. W. Bern, J. E. Flaherty, M. Luskin, Grid generation and adaptive algorithms, New York, Springer, 1999. - L. Gruene, An adaptive grid scheme for the discrete Hamilton-Jacobi-Bellman equation, Numerische Mathematik, 75 (1997), 319-337. - B. Cockburn, B. Yenikaya, An adaptive numerical method with rigorous error control for the Hamilton-Jacobi equations. Part I: The steady-state case, Appl. Numer. Math. 52 (2005), 175-195. [F2] Schemi di approssimazione per problemi di trattamento delle immagini: segmentazione, filtraggio, ricostruzione 3D Studio degli schemi di approssimazione per il metodo level-set. Applicazione alla segmentazione col metodo "active contours" sia su immagini virtuali che reali. Referenze: - J.A. Sethian, Level Set Method. Evolving interfaces in geometry, fluid mechanics, computer vision, and materials science, Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics, vol. 3, Cambridge University Press, Cambridge, 1996. - M. Falcone, R. Ferretti, Semi-Lagrangian Approximation Schemes for Linear and Hamilton-Jacobi equations, SIAM, 2014. - Articoli vari in relazione al problema scelto (da concordare col docente) [F3] Schemi di approssimazione efficienti in dimensione alta per problemi di controllo ottimo Studio di alcuni metodi recentemente proposti in letteratura per ridurre la complessita' di calcolo (formule di rappresentazione, characteristics driven) Referenze: - S. Osher, R.P. Fedkiw, Level Set Methods and Dynamic Implicit Surfaces, Springer-Verlag, New York, 2003. - J.A. Sethian, Level Set Method. Evolving interfaces in geometry, fluid mechanics, computer vision, and materials science, Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics, vol. 3, Cambridge University Press, Cambridge, 1996. - M. Falcone, R. Ferretti, Semi-Lagrangian Approximation Schemes for Linear and Hamilton-Jacobi equations, SIAM, 2014. - Articoli vari in relazione al problema scelto (da concordare col docente) [F4] Schemi semi-lagrangiani del secondo ordine per le equazioni di Hamilton-Jacobi Studio della convergenza degli schemi di ordine 2 in dimensione 1. Confronto con i metodi monotoni studiati nel corso in termini di costo computazionale, errore e ordine di convergenza. Referenze: M. Falcone, R. Ferretti, Semi-Lagrangian Approximation Schemes for Linear and Hamilton-Jacobi equations, SIAM, 2014. [F5] Schemi alle differenze finite di ordine alto per le equazioni di Hamilton-Jacobi Studio della convergenza degli schemi di ordine 2 e 3 in dimensione 1. Confronto con i metodi monotoni studiati nel corso in termini di costo computazionale, errore e ordine di convergenza. Referenze: - J.A. Sethian, Level Set Method. Evolving interfaces in geometry, fluid mechanics, computer vision, and materials science, Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics, vol. 3, Cambridge University Press, Cambridge, 1996. - S. Osher, R.P. Fedkiw, Level Set Methods and Dynamic Implicit Surfaces, Springer-Verlag, New York, 2003. [F6] Un modello per la crescita delle pile di sabbia. Il modello consiste nell'accoppiamento di un'equazione del trasporto con l'equazione eiconale evolutiva (1D+1D oppure 2D+2D). Un modello semplificato puo' esser ottenuto anche semplicemente tramite l'equazione eiconale (1D o 2D). Referenze: M. Falcone, S. Finzi Vita, A finite-differenze approximation of a two-layer system for growing sandpiles, SIAM J. Sci. Comput., 28 (2006), 1120-1132. [F7] Metodi numerici per le equazioni di Hamilton-Jacobi basati su tecniche di Deep Learning In alcuni articoli recenti sono stati sviluppati alcuni metodi di deep learning per la soluzione di equazioni alle derivate parziali non lineari (ad esempio basati su Convolutional Neural Networks (CNN)). Per questa tesina e' necessario avere seguito il corso di "Modelli di reti neurali" di E. Agliari. Referenze: - J.A. Sethian, Level Set Method. Evolving interfaces in geometry, fluid mechanics, computer vision, and materials science, Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics, vol. 3, Cambridge University Press, Cambridge, 1996. - M. Falcone, R. Ferretti, Semi-Lagrangian Approximation Schemes for Linear and Hamilton-Jacobi equations, SIAM, 2014. - Articoli vari sulla applicazione delle CNN alle EDP nonlineari (da concordare col docente) :::::::::::::::::::::::::::::: PUPPO :::::::::::::::::::::::::::::: [P1] Modelli di traffico del secondo ordine (Aw-Rascle), e integrazione numerica. Integrazione numerica del modello di Aw-Rascle e confronto con le soluzioni del modello LWR. In particolare, considerare l'evoluzione di perturbazioni nella densita' su un dato costante, per entrambi i modelli. Referenze: Aw, Rascle, Resurrection of "second order" models of traffic flow, SIAM J. Appl. Math, 2000. [P2] Modelli per shallow water, con e senza termine di sorgente: schemi ben bilanciati. Integrare le equazioni delle acque basse, con un metodo standard. Considerare il modello delle acque basse con termine di sorgente. Studiare la differenza fra una soluzione standard e la soluzione ottenuta con il metodo ben bilanciato proposto nell'articolo citato. Referenze: - Leveque, Finite volume methods for hyperbolic problems, Cambridge texts in applied mathematics, 2004 - E. Audusse, F. Bouchut, M.-O. Bristeau, R. Klein, B. Perthame, A fast and stable well-balanced scheme with hydrostatic reconstruction for shallow water flows, SIAM J. Sci. Comput. 25 (2004) 2050-2065 [P3] Integrazione di una legge di conservazione di tipo Burgers con metodi del terzo e quarto ordine, usando ricostruzioni di tipo CWENO. Nel lavoro Cravero, Puppo, Semplice, Visconti CWENO, Math of Comp. 2018, abbiamo utilizzato le ricostruzioni CWENO con metodi di Runge-Kutta nel tempo. Confrontare l'avanzamento temporale con Runge-Kutta con l'avanzamento temporale ottenuto con metodi di tipo Adams-Bashforth. [P4] Integrazione numerica dell'equazione di Korteweg-DeVries. Si tratta di equazioni non lineari di tipo Burgers che contengono termini dispersivi, e in particolare contengono soluzioni di tipo solitone, cioe' onde non lineari che mantengono la loro forma nel tempo. Considerare una discretizzazione "naive", in cui si interpola la soluzione con un polinomio di grado abbastanza alto da poterne calcolare la derivata terza in modo non banale (cioe' non identicamente nulla) e poi si integra nel tempo. Considerare anche il sistema di tre equazioni che ottengo se riduco l'equazione ad un sistema del primo ordine. Studiare la stiffness del problema, e l'evoluzione di una perturbazione su un dato iniziale piatto. Referenze: Whitham, Linear and Non Linear Waves. [P5] Modelli microscopici di tipo follow-the-leader. Integrazione numerica del modello e stima dell'effetto di perturbazioni nei dati iniziali. Referenze: Aw-Klar-Materne-Rascle, Derivation of continuum traffic models from microscopic follow the leader models, SIAM J Appl. Math, vol 63, 2002. [P6] Modelli miscroscopici di tipo follow the leader per miscele di veicoli diversi, ad esempio auto a guida manuale e auto a guida autonoma. Effetto sul flusso globale di diverse regole di interazione. Referenze: Dimarco, Tosin, Zanella, https://arxiv.org/abs/2101.04066 :::::::::::::::::::::::::::::: VISCONTI :::::::::::::::::::::::::::::: [V1] Metodi numerici di alto ordine per un sistema rilassato di equazioni iperboliche che descrivono il flusso di dati in grandi sistemi di calcolo. Referenze: Hauck, Herty, Visconti, Qualitative properties of mathematical model for data flow, Networks and Heterogenous Media, 2021. https://arxiv.org/pdf/1910.10117.pdf