:::::::::::::::::::::::::::::: BRIANI :::::::::::::::::::::::::::::: [B1] Applicazione al traffico veicolare: il modello LWR con sorgente per il traffico veicolare. Si tratta di studiare l'effetto di un termine di sorgente non locale da aggiungere al classico modello LWR per il traffico veicolare. [B2] Applicazione al traffico veicolare: Il modello a due classi con creeping. Si tratta di studiare un modello per l'accoppiamento della dinamica dei veicoli leggeri e pesanti, specifico per la descrizione del creeping (il blocco del traffico pesante non implica quello del traffico leggero). Referenze: S. Fan, D. B. Work, A heterogeneous multiclass traffic flow model with creeping, SIAM J. Appl. Math., 75 (2015), 813-835. :::::::::::::::::::::::::::::: CARLINI :::::::::::::::::::::::::::::: [CA1] Uno schema numerico alle differenze finite per equazioni di Hamilton-Jacobi su networks Recentemente sono stati proposti nuovi modelli di traffico basati su equazioni di Hamilton-Jacobi. Sono quindi divenute necessarie nuove tecniche per generalizzare gli esistenti schemi numerici al caso di network. Si propone di studiare uno schema alle differenze finite per una classe di equazioni di Hamilton-Jacobi-Bellman su reti. Lo schema è esplicito, stabile e convergente e alcune stime di errore sono state dimostrate. Lo schema viene applicato per simulare alcuni test su network. Referenze: - G. Costeseque, J.P. Lebacque, R. Monneau, A convergent scheme for Hamilton-Jacobi equations on a junction: application to traffic, Numerische Mathematik, 2015 - G. Costeseque, J.P. Lebacque, Discussion about traffic junction modelling: conservation laws VS Hamilton-Jacobi equations, DISCRETE AND CONTINUOUS DYNAMICAL SYSTEMS SERIES S, Vol. 7, No. 3, June 2014 [CA2] Approssimazione dell’equazione di Fokker-Planck L'equazione di Fokker Plank ha recentemente trovato molte applicazioni nei modelli Mean Field Games e nei modelli di Hughes per la dinamica dei pedoni. Si propone di confrontare, su semplici problemi unidimensionali, tre schemi numerici: schema semi-lagrangiano, schema di Chang-Cooper e schema alle differenze finite. Referenze: - Y. Achdou and I. Capuzzo Dolcetta, Mean field games: Numerical methods, SIAM J. Numer. Anal., 48 (2010), pp. 1136-1162 - E. Carlini, F.J. Silva, A Semi-Lagrangian scheme for the Fokker-Planck equation IFAC-PapersOnLine 49 (8), 272-277 - E. Carlini, F.J. Silva, On the Discretization of Some Nonlinear Fokker--Planck--Kolmogorov Equations and Applications, SIAM Journal on Numerical Analysis 56 (4), 2148-2177 - J. S. Chang and G. Cooper, A practical difference scheme for Fokker-Planck equations, J. Comput. Phys., 6 (1970), pp. 1-16. - M. Mohammadi, A. Borzi', Analysis of the Chang–Cooper discretization scheme for a class of Fokker–Planck equations. Journal of Numerical Mathematics, 23 (2015), 271-288 :::::::::::::::::::::::::::::: CRISTIANI :::::::::::::::::::::::::::::: [CR1] Applicazione al traffico veicolare: Il modello LWR con ritardo. La tesina consiste nell'implementazione del modello LWR con ritardo, che tiene conto del tempo di reazione del guidatore. Referenze: M. Burger, S. Goettlich, T. Jung, Derivation of a first order traffic flow model of LWR type, IFAC PapersOnLine, 51-9 (2018), 49-54. [CR2] Applicazione al traffico veicolare: Modelli del primo ordine su rete con "buffer". La tesina consiste nell’implementazione di un modello proposto nel 2009 per estendere il modello LWR su reti stradali. Referenze: M. Herty, J. P. Lebacque, S. Moutari, A novel model for intersections of vehicular traffic flow, Netw. Heterog. Media, 4 (2009) 813-826. [CR3] Applicazione al traffico veicolare: ottimizzazione di una serie di semafori lungo una strada. La tesina consiste nel regolare in maniera ottimale una serie di semafori posti lungo una strada al fine di massimizzare il flusso di traffico. Referenze: M. L. Delle Monache, B. Piccoli, F. Rossi, Traffic regulation via controlled speed limit, SIAM J. Control Optim., 55(2017), 2936–2958. [CR4] Applicazione al traffico pedonale: Il modello di Hughes. La tesina consiste nell'implementazione del modello di Hughes, che si basa su un sistema di due EDP. La prima è una legge di conservazione che descrive il movimento dei pedoni, la seconda è un'equazione di tipo eikonale che calcola il campo dei velocità seguito dai pedoni. Lo scopo è simulare una procedura di evacuazione da una stanza. Referenze: E. Cristiani, B. Piccoli, A. Tosin, Multiscale modeling of pedestrian dynamics, Springer 2014. [Section 4.4.4] [CR5] Metodi di accelerazione per l'equazione eikonale Studio della convergenza dei metodi Fast Marching e Fast Sweeping per l'equazione eikonale in dimensione 2. Confronto con i metodi monotoni studiati nel corso in termini di costo computazionale, errore e ordine di convergenza. Referenze: - J. Qian, Y.-T. Zhang, H.-K. Zhao, A Fast Sweeping Method for Static Convex Hamilton-Jacobi Equations, Journal of Scientific Computing, 31 (2007), 237-271. - J. A. Sethian, A fast marching level set method for monotonically advancing fronts, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 93 (1996), 1591-1595. [CR6] Schemi di approssimazione per il problema di Shape-from-Shading Studio della convergenza degli schemi per il problema di Shape-from-Shading. Approssimazione della soluzione massimale dell’equazione eiconale. Sviluppo di test su immagini virtuali e reali. Referenze: M. Falcone, R. Ferretti, Semi-Lagrangian Approximation Schemes for Linear and Hamilton-Jacobi equations, SIAM, 2014. [CR7] Schemi di approssimazione per problemi di controllo ottimo Approssimazione della soluzioni di alcuni problemi di controllo ottimo in dimensione 2. Referenze: - M. Falcone, R. Ferretti, Semi-Lagrangian Approximation Schemes for Linear and Hamilton-Jacobi equations, SIAM, 2014. - M. Bardi, I. Capuzzo Dolcetta, Optimal control and viscosity solutions of Hamilton-Jacobi-Bellman equations, Birkhauser, 1997. :::::::::::::::::::::::::::::: FALCONE :::::::::::::::::::::::::::::: [F1] Metodi adattivi per le equazioni di Hamilton-Jacobi Studio della convergenza degli schemi numerici che lavorano su una griglia variabile (adattiva) in funzione di un indicatore dell'errore a posteriori. Referenze: - M. W. Bern, J. E. Flaherty, M. Luskin, Grid generation and adaptive algorithms, New York, Springer, 1999. - L. Gruene, An adaptive grid scheme for the discrete Hamilton-Jacobi-Bellman equation, Numerische Mathematik, 75 (1997), 319-337. - B. Cockburn, B. Yenikaya, An adaptive numerical method with rigorous error control for the Hamilton-Jacobi equations. Part I: The steady-state case, Appl. Numer. Math. 52 (2005), 175-195. [F2] Schemi di approssimazione per il problema di segmentazione Studio degli schemi di approssimazione per il metodo level-set. Applicazione alla segmentazione col metodo "active contours" sia su immagini virtuali che reali. Referenze: - J.A. Sethian, Level Set Method. Evolving interfaces in geometry, fluid mechanics, computer vision, and materials science, Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics, vol. 3, Cambridge University Press, Cambridge, 1996. - M. Falcone, R. Ferretti, Semi-Lagrangian Approximation Schemes for Linear and Hamilton-Jacobi equations, SIAM, 2014. [F3] Schemi di approssimazione per l’evoluzione secondo curvatura media Studio della convergenza degli schemi per l’equazione di Hamilton-Jacobi del secondo ordine relativa al movimento secondo la curvatura media. Referenze: - S. Osher, R.P. Fedkiw, Level Set Methods and Dynamic Implicit Surfaces, Springer-Verlag, New York, 2003. - E. Carlini, M. Falcone, R. Ferretti, Convergence of a large time-step scheme for mean curvature motion, Interfaces and Free Boundaries, 12 (2010), 409-441. - J.A. Sethian, Level Set Method. Evolving interfaces in geometry, fluid mechanics, computer vision, and materials science, Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics, vol. 3, Cambridge University Press, Cambridge, 1996. [F4] Schemi semi-lagrangiani del secondo ordine per Hamilton-Jacobi Studio della convergenza degli schemi di ordine 2 in dimensione 1. Confronto con i metodi monotoni studiati nel corso in termini di costo computazionale, errore e ordine di convergenza. Referenze: M. Falcone, R. Ferretti, Semi-Lagrangian Approximation Schemes for Linear and Hamilton-Jacobi equations, SIAM, 2014. [F5] Schemi alle differenze finite di ordine alto per Hamilton-Jacobi Studio della convergenza degli schemi di ordine 2 e 3 in dimensione 1. Confronto con i metodi monotoni studiati nel corso in termini di costo computazionale, errore e ordine di convergenza. Referenze: - J.A. Sethian, Level Set Method. Evolving interfaces in geometry, fluid mechanics, computer vision, and materials science, Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics, vol. 3, Cambridge University Press, Cambridge, 1996. - S. Osher, R.P. Fedkiw, Level Set Methods and Dynamic Implicit Surfaces, Springer-Verlag, New York, 2003. [F6] Un modello per la crescita delle pile di sabbia. Il modello consiste nell'accoppiamento di un'equazione del trasporto con l'equazione eikonale evolutiva (1D+1D oppure 2D+2D). Un modello semplificato può esser ottenuto anche semplicemente tramite l'equazione eikonale (1D o 2D). Referenze: M. Falcone, S. Finzi Vita, A finite-differenze approximation of a two-layer system for growing sandpiles, SIAM J. Sci. Comput., 28 (2006), 1120-1132. :::::::::::::::::::::::::::::: PUPPO :::::::::::::::::::::::::::::: [P1] Modelli di traffico del secondo ordine (Aw-Rascle), e integrazione numerica. Integrazione numerica del modello di Aw-Rascle e confronto con le soluzioni del modello di Whitham. Vedi Aw, Rascle, RESURRECTION OF "SECOND ORDER" MODELS OF TRAFFIC FLOW, SIAM J. Appl. Math, 2000. In particolare, considerare l’evoluzione di disturbi nella densità su un dato costante, per entrambi i modelli. [P2] Modelli shallow water, con e senza termine di sorgente: schemi ben bilanciati. Integrare le equazioni delle acque basse (v. Leveque, Finite volume methods for hyperbolic problems, Cambridge texts in applied mathematics, 2004), con un metodo standard. Considerare il modello delle acque basse con termine di sorgente, v, E. Audusse, F. Bouchut, M.-O. Bristeau, R. Klein, B. Perthame, A fast and stable well-balanced scheme with hydrostatic reconstruction for shallow water flows, SIAM J. Sci. Comput. 25 (2004) 2050–2065. Studiare la differenza fra una soluzione standard e la soluzione ottenuta con il metodo ben bilanciato proposto nell'articolo citato. [P3] Integrazione di una legge di conservazione di tipo Burgers con metodi del terzo e quarto ordine, usando ricostruzioni di tipo CWENO. Nel lavoro Cravero, Puppo, Semplice, Visconti CWENO, Math of Comp. 2018, abbiamo utilizzato le ricostruzioni CWENO con metodi di Runge-Kutta nel tempo. Confrontare l’avanzamento temporale con Runge-Kutta con l’avanzamento temporale ottenuto con metodi di tipo Adams-Bashforth. [P4] Integrazione numerica dell'equazione di Korteweg-DeVries. Si tratta di equazioni non lineari di tipo Burgers che contengono termini dispersivi, e in particolare contengono soluzioni di tipo salitone, cioè onde non lineari che mantengono la loro forma nel tempo. Considerare una discretizzazione "naive", in cui interpolo la soluzione con un polinomio di grado abbastanza alto da poterne calcolare la derivata terza in modo non banale (cioè non identicamente nulla) e poi integro nel tempo. Considerare anche il sistema di tre equazioni che ottengo se riduco l’equazione ad un sistema del primo ordine. Studiare la stiffness del problema, e l’evoluzione di una perturbazione su un dato iniziale piatto. Per le equazioni KdV, vedi Whitham, Linear and Non Linear Waves.